SISTEMA DE EQUAÇÃO

Sistemas

Imagina uma equação como esta:  2x+ 3y=5. É fácil dar conta que ela tem como solução x=1 e y=1. Mas existem mais soluções para ela, por exemplo: x= -2 e y=3 ...

Tenta "descobrir" outras soluções. De facto existirá um conjunto infinito de soluções "C" desta equação.

  Vamos agora analisar outra equação do mesmo tipo 1º grau com duas incógnitas):   4x-2y=2  ela admite a solução x=1 e y=1, mas também terá um conjunto infinito de soluções "D". Em "E" (intersecção dos dois conjuntos C e D) estarão as soluções comuns às duas equações.No nosso exemplo o par (x=1 e y=1). Repara na figura.

Assim resolver um sistema de 2 equações é encontrar as soluções comuns às suas equaçóes.

4.1-Métodos práticos de resolução:

Método de substituição

A melhor forma é acompanhar com comentários a resolução de um sistema. Vamos aproveitar as equações já referidas:

 Tiramos o valor de x, por exemplo na 1ª equação Em

 seguida vamos substitui x, na segunda equação, pela expressão obtida na 1ª

    daqui podemos desde já calcular o valor de y resolvendo a 2ª equação

                              em ordem a y:

Substituindo na equação de cima o valor obtido para y ficará:

conclusão: x=1 e y=1

 Utiliza este método para resolver o sistema  

E ainda para resolver este (um pouco mais trabalhoso) 

Método de redução

Na essência o método consiste em obter nas duas equações coeficientes da mesma incógnita que sejam simétricos. Logo que isto acontece, ao somar as duas equações essa incógnita acaba por desaparecer. 

Seja o sistema      vamos, por exemplo multiplicar ambos os membros da segunda equação por -2 fica então:   logo os coeficientes de x já estão como o desejado (com valores simétricos).

Adicionando agora as duas equações fica:    repetindo o procedimento para a variável y. Então, mutiplicando a 1ª equação por 2 e segunda por 3,teremos:
(Atenção estes valores foram obtidos assim : mmc(3,2)=6 então 6:3 (coef.)=2 e 6:2(coef.)=3)

 

Agora adicionando ordenadamente vem:    

Método gráfico (onde as soluções são menos rigorosas)Muitas vezes, na resolução de um sistema, usamos o método gráfico, de facto cada equação do 1º grau é representada por uma recta (ver funções). As coordenadas do ponto de intersecção das duas rectas constituem a solução do sistema.

a) Qual é a solução do sistema da figura no lado direito ? verifica numericamente a solução obtida.

b) Resolve graficamente o sistema   

c)  Resolve graficamente os sistema abaixo e para isso podes utilizar um dos programas derive  ou o  winplot     

Forma prática de resolução de um sistema

Na verdade, no dia a dia, é muito habitual usar um método misto : isto é iniciamos a resolução com o método de redução e acabamos por substituição. Vamos exemplificar:

Tens agora dois sistemas para resolver, usa qualquer dos métodos numéricos aprendidos:       

Tenta resolver, por qualquer método, o sistema  

Método de comparação

Consiste em isolar a mesma incógnita nas duas equações, realizando a comparação entre elas. Observe a resolução dos modelos a seguir: 

Exemplo 1  

Isolando x na 1ª equação 
x + y = 7 
x = 7 – y 

Isolando x na 2ª equação 
x – 2y = – 5 
x = – 5 + 2y 

Realizando a comparação 
x = x 
7 – y = – 5 + 2y 
– y – 2y = –5 –7 
– 3y = – 12 *(–1) 
3y = 12 
y = 12/3 
y = 4 

Para calcularmos o valor de x utilizamos qualquer uma das equações substituindo y por 4. 
x = – 5 +2y 
x = – 5 + 2 * 4 
x = – 5 + 8 
x = 3 

Solução do sistema: (3; 4) 


Exemplo 2 

Isolando x na 1ª equação 
x + 2y = 40 
x = 40 – 2y 

Isolando y na 2ª equação 
x – 3y = – 35 
x = – 35 + 3y 

Realizando a comparação 

x = x 
–35 + 3y = 40 – 2y 
3y + 2y = 40 + 35 
5y = 75 
y = 15 


Calculamos o valor de x substituindo y = 15 em qualquer das equações. 

x = – 35 + 3y 
x = – 35 + 3 * 15 
x = –35 + 45 
x = 10 


Solução do sistema: (10; 15) 

Para praticar a resolução de sistemas de 2 equações utiliza os métodos que acabaste de estudar e serão úteis na resolução de sistemas com mais de duas equações.

Se quiseres aprofundar um pouco os teus conhecimentos podes resolver sistemas como o que se encontra ao lado. Trata-se de um sistema com 3 equações e três incógnitas. Podes usar na sua resolução qualquer dos mesmos métodos já vistos.

Lembre-se que qualquer dificuldade encontrada menciona nos comentários e estamos disposto a ajudar... Sempre!!!