PRINCÍPIO MÓDULO MÁXIMO

            Em matemática , o princípio módulo máximo em análise complexa afirma que se f é uma função holomorfa , em seguida, o módulo | F | Não pode exibir um verdadeiro máximo local que esteja propriamente dentro do domínio de f . Em outras palavras, tanto F é uma função constante , ou, em qualquer ponto Z 0 dentro do domínio de f existem outros pontos arbitrariamente próximo de Z 0 em que | F | Assume valores maiores.

              Deixe f ser uma função holomorfa em algum conectado subconjunto aberto D do plano complexo ℂ e tendo valores complexos. Se z 0 é um ponto em D tal que  para todo z em um vizinhança de z 0 , então a função f é constante em D .

           Ao mudar para o recíproco , podemos obter o princípio do módulo mínimo . Ele afirma que se f é holomorfa dentro de um domínio limitado D , contínuo até o limite de D , e não-nulo em todos os pontos, então | F (z) | assume o seu valor mínimo no limite de D .

Alternativamente, o princípio módulo máximo pode ser visto como um caso especial do teorema de mapeamento aberto , que afirma que uma função holomorfa não-constante mapeia conjuntos abertos para conjuntos abertos. Se | F | Atinge um máximo local em z , então a imagem de uma vizinhança aberta suficientemente pequena de z não pode ser aberta. Portanto, F é constante.

                                Usando o princípio máximo para funções harmônicas

Pode-se usar a igualdade

Log f ( z ) = ln | F ( z ) | + I arg f ( z )|

Para logaritmos naturais complexos deduzir que ln | F ( z ) | É uma função harmônica . Uma vez que z 0 é um máximo local para esta função também, segue do princípio máximo que | F ( z ) | É constante. Em seguida, utilizando as equações de Cauchy-Riemann mostramos que f ' ( z ) = 0, e, portanto, que F ( z ) é constante, como queiramos.

                                Usando o teorema do valor médio de Gauss 

Outra prova funciona usando o teorema do valor médio de Gauss para "forçar" todos os pontos dentro de discos abertos sobrepostos a assumir o mesmo valor. Os discos são colocados de forma que seus centros formam um caminho poligonal a partir do valor em que f ( z ) é maximizado para qualquer outro ponto no domínio, estando totalmente contido dentro do domínio. Assim, a existência de um valor máximo implica que todos os valores no domínio são iguais, portanto f ( z ) é constante.

        Uma interpretação física deste princípio vem da equação de calor . Ou seja, desde log | F ( z ) | é harmónico, é, assim, o estado estacionário de um fluxo de calor na região D . Suponhamos que um máximo estrito foi atingido no interior de D , o calor a este máximo estaria dispersando-se para os pontos ao seu redor, o que contradizia a suposição de que isso representa o estado estacionário de um sistema.

O princípio do módulo máximo tem muitos usos na análise complexa, e pode ser usado para provar o seguinte:

• O teorema fundamental da álgebra .

• Lemma de Schwarz , um resultado que por sua vez tem muitas generalizações e aplicações em análise complexa.

• O princípio Phragmén-Lindelöf , uma extensão para domínios ilimitados.
• O teorema de Borel-Carathéodory , que limita uma função analítica em termos de sua parte real.
• O teorema de Hadamard de três linhas , um resultado sobre o comportamento de funções holomorfas limitadas numa linha entre duas outras linhas paralelas no plano complexo.

POR: https://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_modulus_principle