LEMMA DE SCHWARZ

           Em matemática , o lemma de Schwarz, em homenagem a Hermann Amandus Schwarz , é um resultado na análise complexa sobre funções holomorfas do disco aberto de unidade a si mesmo. O lema é menos célebre de teoremas mais fortes, como o teorema de mapeamento de Riemann, que ajuda a provar. É, entretanto, um dos resultados os mais simples que captam a rigidez de funções holomorficas.

           Lemma de Schwarz. Seja  ser o disco aberto de unidade no plano complexo  Centrado na origem e seja Ser um mapa holomorfo tal que. Então,  e . Além disso, se  Para alguns não-zero  ou , então  Para alguns  com .

Demonstração: A prova é uma aplicação directa do princípio do módulo máximo na função

${\ Displaystyle g (z) = {\ begin {cases} {\ frac {f (z)} {z}} \, & {\ mbox {if}} z \ neq 0 \\ f ' \ Mbox {if}} z = 0, \ end {cases}}}$

Que é holomorfa no conjunto de D , inclusive na origem (porque f é diferenciável na origem e fixa zero). Agora, se D _r = { z  : | Z | ≤ r } denota o disco fechado de raio r centrado na origem, então o princípio do módulo máximo implica que, para r <1, dado qualquer z em D _r , existe z _r na fronteira de D _r tal que

${\ Displaystyle | g (z) | \ leq | g (z_ {r}) | \ {\ frac {| f { 1} {r}}.}$

Como ${\ Displaystyle r \ rightarrow 1}$ Nós temos ${\ Displaystyle | g (z) | \ leq 1}$.

Além disso, suponha que | F ( z ) | = | Z | para alguns diferente de zero z em D , ou | F ' (0) | = 1. Então, | G ( z ) | = 1 em algum ponto do D . Assim, pelo princípio módulo máximo, g ( z ) é igual a uma constante de um tal que | A | = 1. Portanto, f ( z ) = az , conforme desejado.

POR: https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarz_lemma